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之乎者野

依南窗而寄傲,审容膝之易安。

 
 
 

日志

 
 

检验一下你的函数学得如何  

2012-02-13 13:11:49|  分类: 个人日记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 已知函数f(x)的定义域为(0+∞),且对任意的正实数xy都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x1, f(x) 0, f(4)=1

⑴求证:f(1)=0

⑵求f(1/16)的值;

⑶解不等式:f(x)+f(x-3)1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⑴证明:令x=y=1,代入f(xy)=f(x)+f(y) 中就有f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=2f(1),故f(1)=0,命题得证。

⑵解:令x=4y= 1/4,代入f(xy)=f(x)+f(y)  中就有f(1)=f(4)+f(1/4)f(1)=0, f(4)=1从而求得f(1/4)=-1,再令x=y= 1/4,代入f(xy)=f(x)+f(y)f(1/16)=f(1/4)+f(1/4)中就有f(1/16)= 2

⑶解:判定函数f(x)在定义域(0+∞)上的单调性。

在定义域(0+∞)内设x1>x 2,则 x1 / x 2 1,因为x1 , f(x) 0, 所以  f(x 1/x 2) 0,而  f(x 1/x2)=f(x 1)+f(1/x 2), 

 即  f(x 1)+f(1/x2) 0,……①    x=x2,  y=1/x 2,代f(xy)=f(x)+f(y) 中就有 f(1)=f(x 2)+f(1/x2), f(1/x2) =f(x2),将其代入 ① 得到            f(x1)f(x2 ) 0,故函数f(x)在定义域(0+∞)上为单调增函数。

由不等式f(x)+f(x-3) 1,得f(x(x-3)) 1=f(4),因此

x0               

x-3                         联立⑴,⑵,⑶ 求得 3x4,故不等式的解集为:﹛x|3<x ≤ 4﹜

x(x-3)4      

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