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之乎者野

依南窗而寄傲,审容膝之易安。

 
 
 

日志

 
 

关于数学的一点“悖论”  

2011-12-08 21:23:32|  分类: 个人日记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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     关于数学的一点“悖论”     
 作者:南窗傲君 

   
     

   
  一    

   
     

   
 也许你听说过菲尔茨数学奖,他就是数学的诺贝尔奖。从  1936~2002  年共  15  届评奖中获奖人数为  45  人,其中美国  16  人,法国  8  人,英国  7  人,苏和俄  5  人,日  3  人,比利时  2  人,新西兰、意、德、瑞各  1  人。然而,在国际中学数学竞赛中,屡屡获奖的是是中国人而非美国人。这一奇怪的现象,不得不令国人深思。 
   
     
   
 现在越来越多的人对数学失去兴趣,是我们当前教育的失败,而非数学本身失去了它应有的魅力。应试教育,已将数学沦为高考的工具,一块敲门砖而已。在这样一个被迫的学习环境中,我们何以获得思维的乐趣?面对数学,我们只有茫然和无奈地喟叹,怎么能享受数学带给我们的生活的某种智趣的舒怀赏心呢? 
   
     
   
 而今,在中国的校园,数学俨然智力的比拼,而非智慧的沉积。而智力的角拼,形如权利的角逐,虽然前者不见血腥,但他同样以暴力的方式清除了其数学文化的蕴涵。刽子手虽然不是我们的教师,但我们的教师应该有所反思,是不是我们已经成为刽子手(教育体制)的帮凶。作为一个优秀的数学教育工作者,就是要激发学生的数学兴趣以及对数学的向往,而不是仅仅是传授学生数学知识。因为,数学不仅仅是一门科学,而且是一种思想,更是一种文化。 
   
     
   
 什么是数学思想,什么是数学文化?你问我这个,我说不清,但我想:思想带给人们更多的是思维的方式与方法,而文化带给人们更多的是传承与发展。如今中国的数学教育,仅仅是如何应对考试,培养出来的学生只是一个做题的机器而已。缺少了数学思想的根植与文化的熏陶,数学对于我们而言只能是一种痛苦。因为我们没有一个优良的数学文化氛围,激发孩子们对数学的向往与热忱。 
 
   
  二    

   
     

   
 公元前  5  世纪,毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,也就是说宇宙间的各种关系可以用整数或整数比来表达。然而,这些先哲却意外地发现,边长为  1  的正方形的对角线,就不能用两个整数比来表示。当时,盘踞权力至尊的他们,已经丧失了对知识应有的谦卑。为了维护权力的尊严,他们唯一可做的就是去掩盖事实。发现了无理数的希帕索斯为此而付出了自己的生命。让人唏嘘不已的是,这样的悲剧在以后的欧洲历史当中不停的重演。然而,一切都阻挡不了人们对真理的探索,一个无比伟大的毕达哥拉斯定理因此而诞生,这就是让我们中国人也引以为傲的——勾股定理。毕达哥拉斯在公元前  550  年发现了这个定理,而我国伟大的数学家商高发现“勾三股四弦五”在公元前  1100  年,比起西方整整早了  550  年的时间。 
   
     
   
 十七世纪伟大的科学家开普勒说:“几何学有两个宝藏,一个是勾股定理,一个是黄金分割。”在这里,我可以肯定地说,在中国知道柏拉图的人要比知道欧多克斯的人多得多,但发现“黄金分割”的欧多克斯和柏拉图同样伟大。也正是他,化解了人类数学的第一次危机。 
   
 无理数对于一些人而言确实头痛,然有理数就不那么头痛了吗?那就将我们的数学认知停顿在饮毛茹血的五世纪吧,请你思考: 
   
     
   
  0.999  ……真的小于  1  吗?请看下面证明。   
   
 因为  0.999  ……  =0.333  ……  +0.666  ……   
   
 而  1  /  3=0.333  ……,  2  /  3=0.666  ……   
   
 所以  0.999  ……  =0.333  ……  +0.666  ……  =1  /  3  ﹢  2  /  3  =  3  /  3  =  1  
   
     
   
 这样的结果真的出乎人的意料,然而有些同学就是这么思考的,作为老师你将如何处置呢  ?  这样的学生,也许就是将来的数学家,因为他有数学家的潜质,他在思考数学而不是在做数学。然而,这样的学生可悲的是坐在了中国的教室,其命运可想而知。 
   
 让我们再看一个很简单的算式: 
   
     
   
  S  =  1  -  1  +  1  -  1  +  1  -  1  +……,求  S  的值。   
   
 解法一:∵   S   =  1  -  1  +  1  -  1  +  1  -  1  +……=﹙  1  -  1  ﹚+﹙  1  -  1  ﹚+﹙  1  -  1  ﹚+……   
   
               ∴   S   =  0  
   
 解法二:∵   S   =  1  -  1  +  1  -  1  +  1  -  1  +……=  1  -﹙  1  -  1  ﹚-﹙  1  -  1  ﹚-﹙  1  -  1  ﹚-……   
   
               ∴   S  =  1  
   
 解法三:∵   S   =  1  -  1  +  1  -  1  +  1  -  1  +……=  1  -  [  ﹙  1  -  1  ﹚+﹙  1  -  1  ﹚+﹙  1  -  1  ﹚+……    =  1  -  S  
   
 ∴   2S  =  1      S  =  1  /  2  
   
 解法四:∵   1  +x  x  ²+  x  ³+  x  ?+ ……= 1 /﹙ 1 - x ﹚   
   
 当 x = 1 时,左=  1 - 1 + 1 - 1 ﹢1-1……= S       右= 1 / 2 
   
 ∴  S = 1 / 2 
   
   
   
 一道很简单的算式,四种解法,竟然有三种不同答案!作为一个老师,若遇到这样的学生,难道你只给他一个分数了事吗 ? 可悲的是,在中国许多老师都是在学生的卷子上只画√或×。老师的×,不仅抹杀了学生的数学创造力,更重要的是枪杀了对数学的兴趣。   
   
 以上,本人所举的只是两道数学悖论的例子。历史的事实告诉我们,数学革命就是因为这样的悖论而爆发的。“贝克莱悖论 ” 引发了数学的第二次革命,而“罗素悖论”则完成了数学的第三次革命。然而,如此重要的数学革命,似乎和中国没有太大的关系。别忘了,我们曾经是数学大国,炎黄子孙有优秀的数学基因,可今天,我们只能在奥林数学匹克竞赛拿几个幼稚的奖,而且举国上下乐此不疲。更可笑的是,我们还以奥数来选拔人才,甚至用奥数来掠夺高等教育的资源。   
   
 海明威说:丧钟为谁而鸣?先进的美国尚且有这样的危机意识,何况落后了的中国。错误不可怕,正如数学的错误,可怕的是我们在错误的暮景里,沾沾自喜。   
   
 最后,让我们再回到数学,享受一下数学的魅力!   
   
   
   
 【问题 1 】 1 ~ 100 的整数,是整数多还是偶数多?这问题的确太简单,那么,在所有的整数里,是整数多还是偶数多?   
   
 【问题 2 】我们知道,一个大数比一个小数的结果较大。例如: 2 / 1 > 1 / 2     由此我们可以推出: 1 / -1 > -1 / 1    ﹙阿诺德悖论﹚。   
   
   
   
 作为家长,如果你的孩子要问你这样的问题,你能给她完满的解答吗?   
   
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